Qual é a diferença entre I'd prefer e I'd rather

Na verdade, as duas são usadas no inglês para expressar a mesma coisa, mas há uma pequena diferença na hora de formar as sentenças.
Veja os exemplos:

- How about pasta for dinner? Que tal macarrão para o jantar?
- I'd rather have a sandwich. / I'd prefer to have a sandwich. Prefiro comer um sanduíche.

Veja que depois de rather vem o verbo no infinitivo, mas sem o to. Depos de I'd prefer o verbo vem com o to.
Algumas observações:

• A parte 'd é a contração de would, que à frente de um verbo forma um tempo condicional geralmente traduzido para o português assim:
  I'd go [Eu iria]
  He'd do his homework... [Ele faria seu dever de casa...]
  She'd study harder... [Ela estudaria mais...]
  O nome do tempo verbal usado nas traduções para português é Futuro do Pretérito.

• Veja que não traduzimos I'd prefer como Eu preferiria - até é possível falar assim mas geralmente dizemos só Eu prefiro.

• Dependendo da situação would + verbo (por exemplo I'd go...) também é traduzido para o passado imperfeito no português: Eu ia... (e não Eu iria) quando se está falando de ação repetida no passado, mas isso fica para outra lição...

Mais um exemplo:

- Would you rather have classes in the morning or in the afternoon? Você prefere ter aula de manhã ou à tarde?
- I'd prefer to be in school in the morning. Prefiro estar na escola de manhã.

Diferença entre falar I'd prefer e I prefer

I'd prefer, she'd prefer, we'd prefer, etc são usados com respeito a situações específicas - quando alguém pergunta uma coisa relacionada ao momento. Por exemplo:

-Would you prefer tea or coffee? Você prefere chá ou café? - I'd prefer to have coffee, please. Prefiro café, por favor.
- Would you like to go out tonight? Você gostaria de sair hoje à noite?
- I'd prefer to spend the night at home. Prefiro passar a noite em casa.

I prefer, he prefers, they prefer, etc. são usados para comunicar preferências em geral, não necessariamente relacionadas a uma situação em particular. Veja uma maneira comum de usar prefer + verbo (ing):

I prefer going to the movies to watching a play. Prefiro ir ao cinema a assistir uma peça.
They prefer walking to taking the bus. Eles preferem andar a pegar ônibus.